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La circunferencia es una curva plana y cerrada tal que todos sus puntos están a igual distancia del centro.^[1]​

Distíngase de círculo, cuyo lugar geométrico que queda determinado por una circunferencia y la región del plano que encierra esta.

Historia

El interés por conocer la longitud de una circunferencia surge en Babilonia. Cuando usaban los carros con ruedas, era primordial relacionar el diámetro o radio con la circunferencia.^[2]​

Terminología frecuente

Elementos relevantes de la circunferencia, heredados por el círculo:

• El centro es el punto equidistante a todos los puntos de una circunferencia. Señalado con el nombre C{displaystyle C} en la figura.


• Un radio es cualquier segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. El radio también es la longitud de los segmentos del mismo nombre. Señalado con el nombre r{displaystyle r} en la figura.


• Un diámetro es cualquier segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por su centro. El diámetro también es la longitud de los segmento del mismo nombre. Señalado con el nombre d{displaystyle d} en la figura.


• El perímetro es el contorno de la circunferencia y su longitud. Señalado con el nombre L{displaystyle L} en la figura.
  
  
  


• Una cuerda es cualquier segmento que une dos puntos de una circunferencia. El diámetro es un cuerda de máxima longitud. Segmento verde en la figura.


• Un arco es cualquier porción de circunferencia delimitada por dos puntos sobre esta. Se dice también que una cuerda subtiende cada arco que determinan sus extremos. Línea curva azul en la figura.


• Una flecha o sagita respecto una cuerda es el segmento de su mediatriz que hay entre esta cuerda y el arco que determina esta, sin pasar por el centro. Segmento rojo en la figura.


• Una semicircunferencia es cualquier arco delimitado por los extremos de un diámetro.

Perímetro

La longitud de una circunferencia en función del radio r{displaystyle r} o del diámetro d=2⋅r{displaystyle d=2cdot r} es:

ℓ=2π⋅r={displaystyle ell =2pi cdot r=} π⋅d{displaystyle pi cdot d}

donde π=3,14159…{displaystyle pi =3,14159dots } es la constante pi.

Área

El área del círculo o de la región del plano delimitada por una circunferencia:

A =ℓ⋅r2={displaystyle {frac {ell cdot r}{2}}=} π⋅r2={displaystyle pi cdot r^{2}=} π⋅d24{displaystyle {frac {pi cdot d^{2}}{4}}}

Propiedades

Posiciones relativas respecto la circunferencia

Los puntos

Posiciones de los puntos respecto de la circunferencia:

• Un punto exterior es el que está a una distancia mayor al radio de la circunferencia respecto la posición de su centro.


• Un punto interior es el que está a una distancia menor al radio de la circunferencia respecto la posición de su centro.

Las rectas

Posiciones de las rectas respecto de la circunferencia:

• Una recta exterior es cualquier recta que no tiene puntos en común con la circunferencia.


• Una recta tangente es cualquier recta que toca la circunferencia en un único punto.


• Una recta secante es cualquier recta que corta la circunferencia en dos puntos.^[3]​

Se llama punto de tangencia cada uno de los puntos que comparte la circunferencia con los diferentes elementos tangentes, es decir, el punto donde se produce la tangencia. En todo punto de la circunferencia se pueden hacer tangencias.

Propiedades

Entre circunferencias

Posiciones entre circunferencias:

• Una circunferencia es exterior a otra, si todos sus puntos son exteriores a esta otra. Véase la figura 1 y 8.


• Una circunferencia es interior a otra, si todos sus puntos son interiores a esta otra. Véase la figura 5.


• Una circunferencia es circundante a otra, si todos sus puntos no son interiores a esta otra que a su vez no es exterior a la primera. Véase las figuras 7 y 8.


• Una circunferencia es tangente exterior a otra, si tienen un único punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. Véase la figura 2.


• Una circunferencia circundante es tangente exterior a otra, si tienen un único punto común. Véase la figura 7.


• Una circunferencia es tangente interior a otra, si tienen un único punto común y todos los demás puntos de una son interiores a la otra. Véase la figura 4.


• Una circunferencia es secante a otra, si se cortan en dos puntos distintos. Véase la figura 3.


• Una circunferencia es secante ortogonalmente a otra, si el ángulo de su intersección es recto, es decir, sus rectas tangentes en cada una de las intersecciones son perpendiculares.


• Son excéntricas las circunferencias que no tienen el mismo centro.


• Son concéntricas las circunferencias que tienen el mismo centro, es decir, las que no son excéntricas.


• Son coincidentes las circunferencias que tienen el mismo centro y el mismo radio, es decir, que todos los puntos de una son los de la otra y viceversa. Véase la figura 6.

Propiedades

Ángulos en una circunferencia

Posición de los ángulos respecto de una circunferencia, puede ser:

• Un ángulo central es el que tiene su vértice en el centro de la circunferencia.^[4]​ Véase la figura 1.


• Un ángulo inscrito es el que tiene su vértice sobre la circunferencia cuyos lados determinan una cuerdas cada uno en la dicha circunferencia.^[4]​ Véase la figura 2.


• Un ángulo semi-inscrito es el que tiene su vértice sobre la circunferencia y uno de sus lados secantes determina una cuerda y el otro una recta tangente a la circunferencia, es decir, que el vértice es un punto de tangencia.^[4]​ Véase la figura 3.


• Un ángulo ex-inscrito es el que tiene su vértice sobre la circunferencia y uno de sus lados determina una cuerda y la prolongación del otro determina otra cuerda, es decir, es el ángulo exterior de un ángulo inscrito.^[5]​ Véase la figura 4.


• Un ángulo interior es el que tiene su vértice en el interior de la circunferencia.^[4]​ Véase la figura 5.


• Un ángulo exterior es el que tiene su vértice en el exterior de la circunferencia y cada lado es tangente o secante a la circunferencia.^[4]​ Véanse las figuras 6,7 y 8.

Propiedades

En el ángulo central su amplitud α{displaystyle alpha } y el radio r{displaystyle r} de la circunferencia, determina la longitud del arco ℓ,{displaystyle ell ,} resaltado en la figura en azul. Si el ángulo está en grados:

ℓα={displaystyle ell _{alpha }=} α180∘⋅π⋅r{displaystyle {frac {alpha }{180^{circ }}}cdot pi cdot r}

El ángulo central indica qué fracción de circunferencia que tiene el arco, así, si ℓ=2π⋅r={displaystyle ell =2pi cdot r=} entonces: ℓα=α360∘⋅2π⋅r{displaystyle ell _{alpha }={frac {alpha }{360^{circ }}}cdot 2pi cdot r} Es decir, el arco es directamente proporcional al ángulo central, y que simplificando queda la fórmula buscada.

Si el ángulo está en radianes:

ℓα={displaystyle ell _{alpha }=} α⋅r{displaystyle alpha cdot r}

El arco capaz relaciona el ángulo central, inscrito, semi-inscrito y ex-inscrito siempre que las intersecciones de los lados mantengan la misma distancia.

Si el ángulo inscrito, semi-inscrito y ex-inscrito tienen la misma amplitud α{displaystyle alpha }, entonces, determinan la misma longitud de arco, de color azul en la imagen, sobre una misma circunferencia de radio r{displaystyle r}. Si el ángulo está en grados:

ℓα={displaystyle ell _{alpha }=} α90∘⋅π⋅r{displaystyle {frac {alpha }{90^{circ }}}cdot pi cdot r}

Como el ángulo central mide el doble que el ángulo inscrito, semi-inscrito y ex-inscrito, este hecho se sustituye en la fórmula usada en el ángulo central quedando: ℓα=2⋅α360∘⋅2π⋅r{displaystyle ell _{alpha }={frac {2cdot alpha }{360^{circ }}}cdot 2pi cdot r} Simplificando queda la fórmula buscada.

Si el ángulo está en radianes:

ℓα={displaystyle ell _{alpha }=} α⋅2⋅r{displaystyle alpha cdot 2cdot r}

Diversos tipos de ángulos aparecen en el análisis de la potencia de un punto respecto de una circunferencia.

Inscripción y circunscripción

Diremos que una circunferencia está circunscrita a un polígono cuando todos los vértices de dicho polígono están sobre esta, se dice que este polígono está inscrito.

Diremos que una circunferencia está inscrita a un polígono cuando sea tangente a todos los lados de dicho polígono, se dice que este polígono está circunscrito.

Representación de la circunferencia

La circunferencia se puede representar mediante ecuaciones o funciones que determinan la posición de cada uno de sus puntos. Para ello solo hace falta garantizar que la distancia de cada punto P{displaystyle P} de la circunferencia a su centro C{displaystyle C} sea constante para cada una de las ecuaciones y funciones que se tenga.

Ecuación de la circunferencia

circunferencia de radio dos en un sistema de coordenadas

Una circunferencia queda determinada por un centro C=(a,b){displaystyle C=(a,,b)} y un radio r{displaystyle r}, por tanto, su ecuación queda determinada al imponer que la distancia de sus puntos, P=(x,y){displaystyle P=(x,,y)}, al centro sea constante, es decir, ‖P−C‖=r{displaystyle |P-C|=r} dando la siguiente ecuación:^[6]​^[7]​

(x−a)2+(y−b)2=r2.{displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.}

Su representación en un sistema de coordenadas viene dada por cada punto de la forma (x,y){displaystyle (x,,y)} que satisfacen la ecuación.

La ecuación anterior es más sencilla si está centrada en el origen de coordenadas C=(0,0):{displaystyle C=(0,,0):}

x2+y2=r2.{displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}.}

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio uno se denomina circunferencia unidad o circunferencia goniométrica y su ecuación es:^[8]​^[9]​^[10]​^[11]​^[12]​

x2+y2=1.{displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}

Su función implícita es f(x,y)=x2+y2−1{displaystyle f(x,,y)=x^{2}+y^{2}-1} y para representar la circunferencia se buscan los puntos del plano que cumplen la ecuación f(x,y)=0.{displaystyle f(x,,y)=0.}

Propiedades

• Es posible usar cuadratura para hallar la ecuación de la circunferencia a partir de su ecuación extendida:

x2+y2+Dx+Ey+F=0{displaystyle x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0}

Aplicando cuadratura a x2+Dx{displaystyle x^{2}+Dx} y y2+Ey{displaystyle y^{2}+Ey} se deduce que: a=−D2{displaystyle a=-{frac {D}{2}}} b=−E2{displaystyle b=-{frac {E}{2}}} y por tanto (x−a)2+(y−b)2=a2+b2−F{displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=a^{2}+b^{2}-F} de donde: r=a2+b2−F.{displaystyle r={sqrt {a^{2}+b^{2}-F}}.}

• A partir de los puntos extremos de un diámetro, (x1,y1){displaystyle (x_{1},y_{1})} y (x2,y2){displaystyle (x_{2},y_{2})}, la ecuación de la circunferencia es:

(x−x1)(x−x2)+(y−y1)(y−y2)=0.{displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})=0.}

Solo hace falta extender el producto de la ecuación dada para identificar la circunferencia: (x−x1)(x−x2)+(y−y1)(y−y2)={displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})=} x2−x⋅x1−x⋅x2+x1⋅x2+y2−y⋅y1−y⋅y2+y1⋅y2{displaystyle x^{2}-xcdot x_{1}-xcdot x_{2}+x_{1}cdot x_{2}+y^{2}-ycdot y_{1}-ycdot y_{2}+y_{1}cdot y_{2}} Finalmente se debe observar que los dos puntos anulan la ecuación y probar que el punto medio es el centro.

Función paramétrica

La circunferencia con centro en C=(a,b){displaystyle C=(a,,b)} y radio r{displaystyle r} se puede parametrizar usando funciones trigonométricas de un solo parámetro θ{displaystyle theta } para obtener una función paramétrica rC(θ)=(x,y):{displaystyle r_{C}(theta )=(x,,y):}

x=a+rcos⁡θy=b+rsen⁡θ{displaystyle {begin{array}{l}x=a+r,cos theta \y=b+r,operatorname {sen} theta end{array}}} θ∈[0,2π){displaystyle theta in [0,,2,pi )}

También se puede parametrizar con funciones funciones racionales como

x=a+r(1−t21+t2)y=b+r(2t1+t2){displaystyle {begin{array}{l}x=a+rleft({frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}right)\y=b+rleft({frac {2t}{1+t^{2}}}right)end{array}}} t∈R¯{displaystyle tin {bar {mathbb {R} }}}

Primero se utiliza un haz de rectas del tipo y=ax{displaystyle y=ax} para proyectar los valores de t{displaystyle t} sobre la recta vertical x=1{displaystyle x=1} que serán de la forma (1,t){displaystyle (1,,t)} y proyectando serán de la forma (a,a⋅t){displaystyle (a,,acdot t)}. Proyección sobre recta horizontal. Si se sustituye sobre la circunferencia unidad (x−1)2+y2=1,{displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=1,} nos dará la intersección de la proyección sobre esta circunferencia y por tanto los puntos de esta paramétricamente: (a−1)2+(a⋅t)2=1⇔{displaystyle (a-1)^{2}+(acdot t)^{2}=1Leftrightarrow } a2⋅(1+t2)=2⋅a⇒{displaystyle a^{2}cdot (1+t^{2})=2cdot aRightarrow } a=21+t2{displaystyle a={frac {2}{1+t^{2}}}} finalmente sustituyendo sobre el haz y arreglando las fracciones queda (1−t21+t2,2⋅t1+t2){displaystyle left({frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},,{frac {2cdot t}{1+t^{2}}}right)}

donde R¯{displaystyle {bar {mathbb {R} }}} incluye el punto en el infinito.^[13]​

Función paramétrica en el plano complejo

En el plano complejo, una circunferencia con centro C=a+ib{displaystyle C=a+i,b} y radio r{displaystyle r} a partir de la ecuación de la circunferencia |z−c|=r{displaystyle |z-c|=r} se obtiene la forma paramétrica:^[14]​^[15]​

z=reiθ+C={displaystyle z=re^{itheta }+C=} r(cos⁡θ+isen⁡θ)+a+ib{displaystyle r(cos theta +ioperatorname {sen} theta )+a+i,b}

donde θ∈[0,2π).{displaystyle theta in [0,,2,pi ).}

Función vectorial

Como en la función paramétrica, la circunferencia puede representarse en cualquier subespacio de dimensión dos de un espacio vectorial usando dos vectores ortonormales u→{displaystyle {vec {u}}} y v→{displaystyle {vec {v}}}, y por tanto generadores de dicho subespacio, permitiendo construir la circunferencia en cualquier plano oblicuo con centro c→{displaystyle {vec {c}}} y radio r{displaystyle r} que viene dada o descrita por la función vectorial:

r(θ)={displaystyle r(theta )=} c→+u→rcos⁡θ+v→rsen⁡θ{displaystyle {vec {c}}+{vec {u}}rcos theta +{vec {v}}roperatorname {sen} theta } donde θ∈[0,2π).{displaystyle theta in [0,,2pi ).}

Ecuación en coordenadas polares

Circunferencia unitaria.

Toda curva plana dada en coordenadas polares es de la forma α(θ)={displaystyle alpha (theta )=} (ρ(θ)cos⁡θ,ρ(θ)sen⁡θ){displaystyle (rho (theta )cos theta ,,rho (theta )operatorname {sen} theta )} donde ρ(θ){displaystyle rho (theta )} es la distancia al centro o polo O{displaystyle O} y θ{displaystyle theta } el ángulo respecto el eje OX, por tanto la expresión de una circunferencia con centro en el polo y radio r{displaystyle r} es:

α(θ)={displaystyle alpha (theta )=} (rcos⁡θ,rsen⁡θ){displaystyle (rcos theta ,,roperatorname {sen} theta )}

La curva α(θ){displaystyle alpha (theta )} tiene que cumplir la ecuación: x2+y2=r2.{displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}.} Es decir: (ρ(θ)cos⁡θ)2+(ρ(θ)sen⁡θ)2=r2.{displaystyle (rho (theta )cos theta )^{2}+(rho (theta )operatorname {sen} theta )^{2}=r^{2}.} De donde se deduce que ρ(θ)=r{displaystyle rho (theta )=r}

Cuando el centro está en el punto (d,0){displaystyle (d,0)} con radio r{displaystyle r} la circunferencia es:

α(θ)={displaystyle alpha (theta )=} (ρ(θ)cos⁡θ,ρ(θ)sen⁡θ){displaystyle (rho (theta )cos theta ,,rho (theta )operatorname {sen} theta )} donde ρ(θ)={displaystyle rho (theta )=} dcos⁡θ+r2−d2sen⁡θ{displaystyle dcos theta +{sqrt {r^{2}-d^{2}operatorname {sen} theta }}}

Extendiendo la ecuación de la circunferencia: (x−d)2+y2=r2⇒{displaystyle (x-d)^{2}+y^{2}=r^{2}Rightarrow } x2−2x⋅d+d2+y2=r2⇒{displaystyle x^{2}-2xcdot d+d^{2}+y^{2}=r^{2}Rightarrow } x2+y2−2x⋅d+d2−r2=0.{displaystyle x^{2}+y^{2}-2xcdot d+d^{2}-r^{2}=0.} Se hace el cambio x=ρ(θ)cos⁡θ{displaystyle x=rho (theta )cos theta } y y=ρ(θ)sen⁡θ{displaystyle y=rho (theta )operatorname {sen} theta } y se simplifica como: ρ(θ)2−2ρ(θ)dcos⁡θ+d2−r2=0⇒{displaystyle rho (theta )^{2}-2rho (theta )dcos theta +d^{2}-r^{2}=0Rightarrow } ρ(θ)={displaystyle rho (theta )=} dcos⁡θ±r2−d2sen⁡θ.{displaystyle dcos theta pm {sqrt {r^{2}-d^{2}operatorname {sen} theta }}.} Finalmente se toma la raíz positiva para que ρ(θ)>0.{displaystyle rho (theta )>0.} El polo no puede ser exterior a la circunferencia por que el dominio del parámetro no queda definido continuamente en la parametrización.

Propiedad

• Dados tres puntos cualesquiera no alineados (x1,y1),(x2,y2){displaystyle (x_{1},,y_{1}),,(x_{2},,y_{2})} y (x3,y3){displaystyle (x_{3},,y_{3})} existe una única circunferencia que contiene a estos tres puntos, es decir, esta circunferencia estará circunscrita al triángulo definido por estos puntos. La ecuación de la circunferencia está dada de por el determinante matricial:

det[xyx2+y21x1y1x12+y121x2y2x22+y221x3y3x32+y321]=0.{displaystyle det {begin{bmatrix}x&y&x^{2}+y^{2}&1\x_{1}&y_{1}&x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&1\x_{2}&y_{2}&x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&1\x_{3}&y_{3}&x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&1\end{bmatrix}}=0.}

Formas de identificar circunferencias

Según el área que se trabaje, hay formas de identificar y usar una circunferencia implícitamente, además de sus funciones y ecuaciones.

En topología

En topología, se denomina circunferencia a cualquier curva cerrada simple que sea homeomorfa a la circunferencia usual de la geometría (es decir, la esfera 1–dimensional). Se la puede definir como el espacio cociente determinado al identificar como uno los dos extremos de un intervalo cerrado. Sin embargo, los geómetras llaman 2-esfera a la circunferencia, mientras que los topólogos se refieren a ella como 1-esfera y la indican como S1{displaystyle S^{1},!}, dando lugar a posibles confusiones.^[16]​

La dimensión de la circunferencia es 1. De igual modo, la dimensión de una recta no acotada, o de un arco — esto es de un conjunto homeomorfo con un intervalo cerrado — y de una curva cerrada simple, i.e. un conjunto homeomorfo con una circunferencia, es igual a 1.^[17]​ También el caso de una poligonal cerrada.

En ecuaciones diferenciales

En el tema de ecuaciones diferenciales, una circunferencia puede determinarse mediante una curva integral de una ecuación diferencial como:

x′=−yy′=x{displaystyle {begin{array}{l}x'=-y\y'=,xend{array}}}

En geometría diferencial de curvas

En teoría local de la curva, se considera como circunferencia una curva de curvatura constante sin torsión.

Circunferencias particulares

Circunferencias de Cardanus

Un par de circunferencias que se desplazan, tangencial e interiormente, una sobre la otra guardando una razón entre sus radios de 1:2. Investigadas, originalmente, por el matemático italiano, Girolamo de Cardano^[18]​

Circunferencia directriz

Usada en una alternativa definitoria de la elipse y de la hipérbola. Siendo estas el lugar de los centros de las circunferencias tangentes a la llamada circunferencia directriz.^[18]​

Circunferencia osculatriz

Al tratar de la curvatura de una curva o de una superficie, en el punto de contacto, además de la tangente se toma en cuenta la circunferencia de la curvatura, llamada circunferencia osculatriz^[18]​^[19]​

Véase también

• Círculo


• Disco (topología)


• Circunferencia de Apolonio


• 
  3-esfera | n-esfera
  


• Sección cónica


• 
  Elipse | Parábola | Hipérbola
  


• Teorema segundo de Tales

Referencias

Enlaces externos

• 
  Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre círculos y circunferencias.


• 
  Wikiversidad alberga proyectos de aprendizaje sobre Circunferencia.


• Ejercicios resueltos y video tutoriales sobre la circunferencia


• Círculo y circunferencia, en Descartes. Centro Nacional de Información y Comunicación Educativa. Ministerio de Educación, Política Social y Deporte de España


• Materiales didácticos: Circunferencia, en Descartes
  


• Círculo y circunferencia en webdelprofesor.ula.ve, de la Universidad de Los Andes, Venezuela


• 
  Weisstein, Eric W. «Circunferencia "Circumference"». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.