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La ley de Poiseuille, también conocida como ley de Hagen-Poiseuille después de los experimentos llevados a cabo en 1839 por Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen (1797-1884), es una ley que permite determinar el flujo laminar estacionario Φ_V de un líquido incompresible y uniformemente viscoso (también denominado fluido newtoniano) a través de un tubo cilíndrico de sección circular constante. Esta ecuación fue derivada experimentalmente en 1838, formulada y publicada en 1840 y 1846 por Jean Léonard Marie Poiseuille (1797-1869). La ley queda formulada del siguiente modo:

ΦV=dVdt=vmediaπr2=πr48η(−dPdz)=πr48ηΔPL,{displaystyle Phi _{V}={dV over dt}=v_{media}pi r^{2}={pi r^{4} over 8eta }left(-{dP over dz}right)={pi r^{4} over 8eta }{Delta P over L};,}

donde V es el volumen del líquido que circula en la unidad de tiempo t, v_media la velocidad media del fluido a lo largo del eje z del sistema de coordenadas cilíndrico, r es el radio interno del tubo, ΔP es la caída de presión entre los dos extremos, η es la viscosidad dinámica y L la longitud característica a lo largo del eje z. La ley se puede derivar de la ecuación de Darcy-Weisbach, desarrollada en el campo de la hidráulica y que por lo demás es válida para todos los tipos de flujo. La ley de Hagen-Poiseuille se puede expresar también del siguiente modo:

λ=64Re,Re=2ρvsRη,{displaystyle lambda ={64 over {it {Re}}};,quad quad Re={2rho v_{s}R over eta };,}

donde Re es el número de Reynolds y ρ es la densidad del fluido. En esta forma la ley aproxima el valor del factor de fricción, la energía disipada por la pérdida de carga, el factor de pérdida por fricción o el factor de fricción de Darcy λ en flujo laminar a muy bajas velocidades en un tubo cilíndrico. La derivación teórica de la fórmula original de Poiseuille fue realizada independientemente por Wiedman en 1856 y Neumann y E. Hagenbach en 1858 (1859, 1860). Hagenbach fue el primero que la denominó como ley de Poiseuille.

La ley es también muy importante en hemodinámica.

La ley de Poiseuille fue extendida en 1891 para flujo turbulento por L. R. Wilberforce, basándose en el trabajo de Hagenbach.

Cálculo de la fórmula

Considérese una tubería horizontal de radio R constante y dentro de ella dos secciones transversales A y B separadas una distancia L. Estas secciones delimitan un trozo de tubería que en la imagen adjunta queda delimitada por los puntos ABCD. Dentro de la tubería indicada se considera a su vez un cilindro coaxial delimitado por los puntos abcd con área de tapas A = π r² y radio r. Debido a la viscosidad del fluido, sobre este cilindro actúa un esfuerzo cortante que se llamará T provocado por una fuerza cortante F sobre un área longitudinal A_L = 2π r L. Esta fuerza será igual a F=p1A−p2A{displaystyle F=p_{1}A-p_{2}A} tendrá un sentido izquierda - derecha igual al desplazamiento del fluido, provocado por un gradiente de presión en la que p₁ es mayor que p₂ (no guiarse por el dibujo adjunto). Integrando las fuerzas que actúan sobre el cilindro considerado, se obtiene la expresión de la ley de Poiseuille.

De acuerdo a la segunda ley de Newton, si p₁ y p₂ son las presiones aplicadas en el centro de gravedad del área transversal del cilindro en las secciones 1 y 2 se tiene que:

p1A−p2A+F=0{displaystyle p_{1}A-p_{2}A+F=0}

Donde F es la fuerza ejercida por fluido debido a la viscosidad del mismo con la sección de tubo de radio r.

En un sólido el esfuerzo de corte es proporcional a la deformación, pero un fluido se deforma continuamente mientras se aplique el esfuerzo, por lo tanto el esfuerzo de corte será proporcional a la velocidad de corte por una constante llamada viscosidad, es decir: FAL=ηdvdr{displaystyle {F over A_{L}}=eta {dv over dr}}

Sustituyendo el valor de la superficie A_L por 2 π r L y despejando F nos queda F=2πrLηdvdr{displaystyle F=2pi rLeta {dv over dr}}

Se reemplaza:

p1πr2−p2πr2+2πrLηdvdr=0{displaystyle p_{1}pi r^{2}-p_{2}pi r^{2}+2pi rLeta {dv over dr}=0}

Simplificando queda:

πr2Δp=−2πrLηdvdr{displaystyle pi r^{2}Delta p=-2pi rLeta {dv over dr}}

rΔp=−2Lηdvdr{displaystyle rDelta p=-2Leta {dv over dr}}

Con lo que:

dv=−Δp2Lηrdr{displaystyle dv=-{Delta p over 2Leta }rdr}

Integrando esta ecuación:

v=−Δp4Lηr2+C{displaystyle v=-{Delta p over 4Leta }r^{2}+C}

El valor de la constante C queda determinada por las condiciones en los límites. Es decir cuando r =R entonces v = 0. Por lo que:

C=Δp4LηR2{displaystyle C={Delta p over 4Leta }R^{2}}

Sustituyendo el valor de C en la ecuación inicial se tiene que:

v=Δp4Lη(R2−r2){displaystyle v={Delta p over 4Leta }left(R^{2}-r^{2}right)}

Esta ecuación da la distribución de velocidades en una tubería. Como se puede observar, el término del radio elevado al cuadrado indica que se trata de un paraboloide, donde la velocidad máxima se obtiene en el eje del mismo y que coincide con el eje de la tubería. Zona en la que los efectos del rozamiento con las paredes de la tubería es mínima. La expresión de la velocidad máxima queda del siguiente modo:

vmax=Δp4LηR2{displaystyle v_{max}={Delta p over 4Leta }R^{2}}

En la práctica es más sencillo medir la velocidad media que la velocidad máxima. La expresión de la velocidad media es la siguiente:

vmedia=QπR2{displaystyle v_{media}={Q over pi R^{2}}}

Para calcular el caudal en la tubería se va a considerar un anillo diferencial de espesor dr entre dos circunferencias concéntricas con el eje de la tubería y radios r y r + dr. En este caso la expresión del caudal queda:

dQ=2πrdrv{displaystyle dQ=2pi rdrv}

Sustituyendo la expresión de la velocidad calculada anteriormente se tiene que:

dQ=2πrdrΔp4Lη(R2−r2){displaystyle dQ=2pi rdr{Delta p over 4Leta }left(R^{2}-r^{2}right)}

Integrando la ecuación anterior entre los límites 0 y R se podrá calcular el caudal total:

Q=∫0Q dQ=∫0R2πrΔp4Lη(R2−r2) dr={displaystyle Q=int _{0}^{Q} dQ=int _{0}^{R}2pi r{Delta p over 4Leta }left(R^{2}-r^{2}right) dr=}

=πΔp2Lη∫0R(R2−r2)r dr=πΔp2Lη(R42−R44){displaystyle ={pi Delta p over 2Leta }int _{0}^{R}left(R^{2}-r^{2}right)r dr={pi Delta p over 2Leta }left({R^{4} over 2}-{R^{4} over 4}right)}

y finalmente se obtiene la expresión de la ley de Poiseuille para el caudal:

Q=ΔpπR48Lη{displaystyle Q={Delta ppi R^{4} over 8Leta }}

si se sigue trabajando sobre esta fórmula y se sustituye esta expresión del caudal en la fórmula anterior de la velocidad media se obtiene lo siguiente:

vmedia=QπR2=ΔpR28Lη=ΔpD232Lη{displaystyle v_{media}={Q over pi R^{2}}={Delta pR^{2} over 8Leta }={Delta pD^{2} over 32Leta }}

de donde se deduce que:

vmedia=vmax2{displaystyle v_{media}={v_{max} over 2}}

despejando la pérdida de presión en las anteriores ecuaciones se obtiene:

Δp=32ηLvmediaD2{displaystyle Delta p={32eta Lv_{media} over D^{2}}}

que no deja de ser otra expresión de la ley de Poiseuille para la pérdida de presión en una tubería de sección constante con flujo laminar.

Si se divide y multiplica el segundo miembro de la ecuación anterior por la expresión 2ρvmediag{displaystyle 2rho v_{media}g} se tiene que:

Δp=32ηLvmediaD22ρvmediag2ρvmediag=64ηvmediaDρLDvmedia22gρg={displaystyle Delta p={32eta Lv_{media} over D^{2}}{2rho v_{media}g over 2rho v_{media}g}={64eta over v_{media}Drho }{L over D}{v_{media}^{2} over 2g}rho g=}

donde Δpρg=hf{displaystyle {Delta p over rho g}=h_{f}} es la pérdida de carga y Re=vmediaDρη{displaystyle Re={v_{media}Drho over eta }} es la expresión del número de Reynolds, con lo que la pérdida de carga queda expresada del siguiente modo:

hf=64ReLDvmedia22g{displaystyle h_{f}={64 over Re}{L over D}{v_{media}^{2} over 2g}}

comparando esta última expresión con la ecuación de Darcy-Weisbach se deduce el valor de λ{displaystyle lambda }:

λ=64Re{displaystyle lambda ={64 over {it {Re}}}}

siendo esta otra expresión de la ecuación de Hagen-Poiseuille.

Relación con los circuitos eléctricos

La electricidad fue originalmente entendida como una clase de fluido. Esta analogía hidráulica es todavía útil en el ámbito académico con fines didácticos.

La ley de Poiseuille se corresponde con la ley de Ohm para los circuitos eléctricos, donde la caída de presión Δp^* es reemplazada por el voltaje V y el caudal Φ_V por la corriente eléctrica I. De acuerdo con esto el término 8η L/πr⁴ es un sustituto adecuado para la resistencia eléctrica R. Por tanto la expresión de la llamada resistencia hidrodinámica se corresponde con

Rhd=ΔPΦV=8μLπr4{displaystyle R_{hd}={frac {Delta P}{Phi _{V}}}={frac {8mu L}{pi r^{4}}}}

Relación con el pulmón

La ley de Poiseuille tiene aplicación en la ventilación pulmonar al describir el efecto que tiene el radio de las vías respiratorias sobre la resistencia del flujo de aire en dirección a los alveolos. De ese modo, si el radio de los bronquiolos se redujera por la mitad, la ley de Poiseuille predice que el caudal de aire que pasa por ese bronquiolo reducido tendría que oponerse a una resistencia 16 veces mayor, teniendo en cuenta que la resistencia al flujo es inversamente proporcional al radio elevado a la cuarta potencia.^[1]​

Este principio cobra importancia en el asma y otras enfermedades obstructivas del pulmón. Al reducirse el radio de las vías aéreas respiratorias, el esfuerzo de la persona se eleva a la cuarta potencia.

Referencias