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Los teoremas de isomorfía, o más propiamente, teoremas de isomorfía de Noether, son tres resultados importantes de la teoría de grupos. Estos teoremas relacionan a los grupos con sus grupos cociente, y son de gran utilidad para construir isomorfismos entre diversos grupos y grupos cociente.

Pocos cambios no esenciales hacen a estos teoremas válidos también en términos de anillos y módulos en lugar de grupos.

Primer teorema de isomorfía

Sea f:G⟶H{displaystyle f:Glongrightarrow H} un homomorfismo de grupos. Entonces existe un isomorfismo f¯:G/(ker⁡f)⟶im f{displaystyle {bar {f}}:G/(ker f)longrightarrow mathrm {im} f}, y por tanto

G/(ker⁡f)≅im f.{displaystyle G/(ker f)cong mathrm {im} f.}

La construcción del isomorfismo cuya existencia afirma el primer teorema de isomorfía se puede expresar mediante el diagrama conmutativo siguiente:

donde π:G⟶G/ker⁡f{displaystyle pi :Glongrightarrow G/ker f} es la proyección canónica de G{displaystyle G} en G/ker⁡f{displaystyle G/ker f}.

El primer teorema de isomorfía de Noether es una consecuencia inmediata del teorema fundamental de homomorfismos.

Ejemplos

• Considérese el epimorfismo natural f:(Z,+)⟶(Zn,+){displaystyle f:(mathbb {Z} ,+)longrightarrow (mathbb {Z} _{n},+)} dado por

f(i)=[i]n.{displaystyle f(i)=[i]_{n}.,!}

Es claro que f(i)=[0]n{displaystyle f(i)=[0]_{n},!} si y sólo si n∣i{displaystyle nmid i}, luego ker⁡f=nZ{displaystyle ker f=nmathbb {Z} }, así que

(Z/nZ,+)≅(Zn,+).{displaystyle (mathbb {Z} /nmathbb {Z} ,+)cong (mathbb {Z} _{n},+).}

• Si An{displaystyle A_{n}} es el subgrupo alternante del grupo simétrico Sn{displaystyle S_{n}}, entonces

Sn/An≅({−1,1},⋅).{displaystyle S_{n}/A_{n}cong left({-1,1},cdot right).}

Segundo teorema de isomorfía

Si N{displaystyle N} y H{displaystyle H} son subgrupos de un grupo G{displaystyle G}, con N{displaystyle N} normal en G{displaystyle G}, entonces

H/(H∩N)≅(H∗N)/N.{displaystyle H/(Hcap N)cong (H*N)/N.}

Este segundo teorema de isomorfía se deduce del primero, pues si N{displaystyle N} es normal a G entonces también lo es H∩N{displaystyle Hcap N} en H{displaystyle H}, y puede demostrarse que el epimorfismo

φ:H⟶(H+N)/Nh↦h+N{displaystyle {begin{array}{rcl}varphi :H&longrightarrow &(H+N)/N\h&mapsto &h+Nend{array}}}

cumple con ker⁡φ=H∩N{displaystyle ker varphi =Hcap N}. Si π:H+N⟶H+N/N{displaystyle pi :H+Nlongrightarrow H+N/N} y ρ:H⟶H/(H∩N){displaystyle rho :Hlongrightarrow H/(Hcap N)} son proyecciones canónicas, entonces la construcción del isomorfismo ψ:H/(H∩N)⟶N+H/N{displaystyle psi :H/(Hcap N)longrightarrow N+H/N} se describe por el diagrama conmutativo siguiente:

Tercer teorema de isomorfía

Si N{displaystyle N} y H{displaystyle H} son subgrupos normales de un grupo G{displaystyle G}, con N⊆H{displaystyle Nsubseteq H}, entonces

G/H≅(G/N)/(H/N).{displaystyle G/Hcong (G/N)/(H/N).}

Esto da lugar al diagrama conmutativo siguiente

donde φ1,φ2{displaystyle varphi _{1},varphi _{2}} son proyecciones canónicas, id{displaystyle {mbox{id}},!} es la aplicación identidad y donde las flechas horizontales forman una sucesión de homomorfismos exacta.

Este teorema es también consecuencia del primer teorema de isomorfía. Para una demostración de este teorema, así como de los dos primeros teoremas de isomorfía, véase, por ejemplo, el wikilibro de Álgebra, Subgrupos normales

Referencias Bibliográficas

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5. Herstein, I. N. (1975). Topics In Algebra. Wiley. 0-471-01090-1. 
   
   


6. Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra I 2nd Ed. Dover. 
   
   
   


7. McCoy, Nel Henry (1995). Introduction to Modern Algebra. 5th Ed (5th edición). Primis. 0-69727-769-0. 
   
   


8. Steinberger, Mark (1994). Algebra (en inglés). International Thomson Publishing. 
   
   

Referencias WEB

1. «Álgebra Abstracta» (en español,
   

   
   Notas de un Curso Universitario de Álgebra Abstracta.). 2015.